Selamat Datang

KAIDAH PENCACAHAN

1.        Aturan Perkalian

Aturan perkalian biasanya digunakan untuk beberapa kejadian yang semuanya "sekaligus terjadi" dan biasanya menggunakan kata penghubung "dan".

Misalkan terdapat n tempat dengan ketentuan :

             a.     Banyak cara untuk mengisi tempat pertama, c1;

             b.    Banyak cara untuk mengisi tempat kedua setelah tempat pertama dipenuhi, c2;

             c.     Banyak cara untuk mengisi tempat ketiga setelah tempat pertama dan kedua dipenuhi, c3;

Dan seterusnya hingga banyak cara untuk mengisi tempat ke-n setelah tempat pertama, kedua, ketiga, ..., ke-(n – 1) dipenuhi adalah cn.

Banyak cara untuk mengisi n buah tempat secara keseluruhan dapat dirumuskan dengan:

Contoh:

Suatu tim bola voli terdiri atas 8 orang (termasuk pemain cadangan), akan dipilih seorang kapten, wakil kapten, dan pengumpan. Berapa banyak pilihan  dapat dibentuk, jika

             a.     Seseorang boleh merangkap

             b.    Seseorang tidak boleh merangkap?

Penyelesaian:

a.       Karena seseorang boleh merangkap, maka masing-masing posisi dapat ditempati oleh seluruh pemain. Banyaknya susunan tim bola voli adalah 8 x 8 x 8 = 512 pilihan.

b.      Karena seseorang tidak boleh merangkap, maka Banyaknya susunan tim bola voli adalah 8 x 7 x 6 = 336 pilihan

2.        Aturan Penambahan

Aturan penambahan biasanya digunakan untuk beberapa kejadian yang "tidak sekaligus terjadi" artinya yang terjadi hanya salah satu saja atau bisa dibilang "pilihan" dan biasanya menggunakan kata penghubung "atau".

Jika terdapat n peristiwa yang saling lepas,

k₁ = banyak cara pada peristiwa pertama

k₂ = banyak cara pada peristiwa kedua

k₃ = banyak cara pada peristiwa ketiga dan seterusnya sampai

kn = banyak cara pada peristiwa ke-n

Maka banyak cara untuk n buah peristiwa secara keseluruhan adalah:

Contoh:

Di rumahnya Lukman terdapat 3 jenis sepeda berbeda, 2 jenis sepeda motor berbeda, dan 2 mobil yang berbeda. Jika Lukman ingin berpergian, ada berapa cara Lukman menggunakan kendaraan yang ada di rumahnya?

Penyelesaian :

Ada tiga pilihan kendaraan yaitu sepeda, sepeda motor, dan mobil. Lukman tidak mungkin menggunakan sekaligus ketiga jenis kendaraan tersebut yang artinya Lukman harus memilih salah satu jenis kendaraan saja. Sehingga kita bisa menggunakan aturan penjumlahan pada kasus ini.

Banyak cara 3 + 2 + 2 = 7 cara.

3.        Permutasi

Permutasi adalah susunan terurut dari suatu himpunan bilangan.

a.       Permutasi dari unsur-unsur berbeda

Sekumpulan k unsur diambil dari n unsur yang disusun dalam suatu urutan tertentu sehingga diperoleh urutan yang berbeda disebut permutasi k dari n unsur.

Permutasi k dari n  unsur yang tersedia dapat ditentukan dengan rumus

Contoh:

Lima buah hadiah yang berbeda akan diberikan kepada 3 orang juara kelas. Namun setiap para juara hanya akan mendapat masing-masing 1 buah hadiah. Berapakah susunan hadiah yang dapat dibentuk untuk dapat diberikan kepada ketiga juara tersebut?

Penyelesaian:

Akan membuat susunan 3 hadiah dari 5 hadiah, sehingga r = 3 dan n = 5.

b.      Permutasi Berulang

Banyaknya permutasi berulang r unsur yang diambil dari n unsur yang tersedia adalah .

Contoh:

Tentukan banyaknya bilangan yang terdiri dari tiga angka dapat dibentuk dari angka-angka 1, 2, 3, 4 bila pemakaian angka boleh berulang!

Penyelesaian:

Karena pemakaian angka boleh berulang, maka banyak bilangan yang dapat dibentuk merupakan permutasi berulang.

c.       Permutasi dengan Beberapa Unsur yang Sama

Banyaknya permutasi keseluruhan dari n unsur yang dari n unsur tersebut tersebut terdapat n1 unsur yang sama, sebanyak n2 unsur yang lain juga sama dan seterusnya adalah :

Contoh:

Berapa cara dapat disusun dari kata MATEMATIKA

Penyelesaian:

MATEMATIKA

d.      Permutasi Siklis

Banyaknya permutasi siklis dari n unsur adalah :

Contoh:

Lima orang menempati tempat duduk yang mengelilingi meja bundar. Berapa macam susunan dapat terjadi?

Penyelesaian:

4.        Kombinasi

Kejadian-kejadian yang urutan tidak menjadi masalah disebut kombinasi.

Kombinasi k unsur dari n  unsur yang tersedia dapat ditentukan dengan rumus

Contoh:

Di dalam suatu kotak terdapat 5 bola merah dan 4 bola putih. Dari kotak tersebut diambil 5 bola. Berapa cara memperoleh kelima bola tersebut terdiri dari 3 bola merah dan 2 bola putih?

Penyelesaian: